上面在介绍 Barra 多因子风险模型的时候已经提到，Barra 多因子风险模型包括国家因子、10 个风格因子和 30 多个行业因子。这些因子能够解释股票的部分收益，而不能被这些因子解释的收益称为个股特异性收益或个股的残差收益，是每只股票自身的因素导致的，无法用这些系统性的因子解释。因此，一个完整的多因子风险模型包括系统性的风险因子，如国家因子、行业因子、风格因子及个股特异性部分。
可以把因子的概念细致化一些，因子包括因子暴露度和因子收益率，怎样理解这两个概念呢？首先看因子暴露，以市值因子作为例子，每只股票都有自己的市值，各不相同，这些股票各自市值的数值就是市值因子的暴露度。为了量纲的统一，会把这个因子暴露的数值做标准化处理，使得因子暴露度主要分布在-3～3。而市值因子作为风险因子，一个单位的风险暴露度对应的风险溢价或者说风险补偿就是因子收益率。假如有一天，市值因子的风险溢价是 1%，也就是说因子收益率是 1%。如果某只股票的市值因子的暴露度为 1，那么市值对股票收益率就贡献了 1% 的收益；如果另外一只股票的市值比较大，市值暴露度为 2，那么它的市值就对它的收益率贡献了 2% 的收益。因此，首先需要理解因子暴露度和因子收益率。刚才提到市值因子，有些人会认为市值因子暴露度就是股票的市值，然后标准化。那么市值因子的因子收益率是怎样得到的呢？在实际应用中，可以通过线性回归的方式估计因子的收益率。
举个例子，第一天计算好各个因子的因子暴露度；第二天知道了所有股票的收益率，把个股因子暴露度和个股的收益率做线性回归，估计出各个因子暴露度的系数，这个系数就是对应的因子收益率。而系数的显著性就是因子对股票收益率影响的显著程度，数字绝对值越大，说明这个因子对个股收益率影响越显著。通过回归模型，还可以得到无法被系统性因子解释的个股特异性收益率。每天通过回归计算因子的因子收益率和个股的特异收益率，就能够得到因子收益和个股的特异收益的时间序列，进而也能够计算因子之间因子收益率的协方差矩阵和个股特异收益率的波动率。由此可见，我们基本上是通过多因子风险模型「庖丁解牛」，把股票的收益率和波动完全分解了。
在构建投资组合时，往往是在一个大的股票池中在一定约束下精选部分股票，那么在优化中需要计算整个股票池所有股票收益率的协方差矩阵。由于股票数量众多
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